黄金比の窓の予想

黄金比の窓の予想（Golden-window conjecture）は、証明されていない予想である。Trinity-Infinity の三篇が扱う作用素を、繰り返しゲームに当てたノートで立てた（trinity-operator の games）。英語の論文の形にしたものを Figshare に置いた。命題 1〜7 と予想を収めている（10.6084/m9.figshare.34419198、2026 年 10 月 13 日）。プレプリントであり、査読は受けていない。置いた版は動かさない。直すのはノートのほうである。

問い。三人が、それぞれ協力か裏切りを選ぶ。協力した相手が k 人いるとき、協力すれば k + 1、裏切れば k + 2 を得る。Series I の利得表である。これを限りなく繰り返し、先の利得を割引因子 δ で割り引く。乱数を使わずに、利得 (2+t, 4−t, 2+t)（0 < t ≤ 1）を均衡として保てるのは、どの t か。その集合を T_δ と書く。Series II が持続すると書いた端 (2,4,2) は、どの δ でも保てない（命題 3）。

δ < 1/2保てる t は無い。証明してある（命題 4）。

1/2 ≤ δ < 1/φ保てるのは t = δ と t = 1 だけ。証明してある（命題 5）。

δ = 1/φ可算無限の集合。証明してある（命題 5）。

窓 1/φ < δ < 2/3ハウスドルフ次元が正であること：証明してある（命題 6）。(a) 長さが 0 になること：予想。(b) 次元は 1 より小さく、δ について連続で減らず、窓の下端で 0、上端で 1 に近づくこと：予想。(a) と (b) の根拠は数値だけである。区間を期ごとに細かく分けて数えると、生き残る区間の総長は縮み続け、次元の推定は δ とともに大きくなった。どちらも有限の深さでの計算であり、証明ではない。

δ ≥ 2/31 − δ から 1 までのすべての t。証明してある（命題 5）。

公開の乱数を使えるとき δ ≥ max(1/2, 1 − t) のときに限って保てる。証明してある（命題 4）。

図は、命題 5 と 6 の再帰から、ブラウザの中で描く。外へは何も取りに行かない。上の帯が割引因子で、窓に印を付けてある。下の帯は、有限の期数を生き残る t を示す。数値の根拠であって、証明ではない。

理論ではない。証明は文献と照合しておらず、第三者の公認もない。その条件のうえで、名乗る貢献は三つある。命題は、数学的証明としての貢献であり、先行が見つかればゼロに移る。予想は、問いを立てたことの貢献であって、解いたことの貢献ではない。再発見の経路は、科学哲学におけるケーススタディとしての貢献である（Machine-mediated Rediscovery、SSRN 10.2139/ssrn.7537983）。SSRN の受け付けを通ったが、査読は受けていない。名乗ることと、分野が数えることは別である。

三篇の数学への寄与はゼロである。窓の外の証明は、ゼロではなく、まだ数えていない。窓の中の命題 6 も同じである。「ゼロ」は、照合した結果、新しいものが無かった状態である。「数えていない」は、照合がまだの状態である。

数学的な意義は、文献照合の条件つきである。同じ命題が先にあれば、意義はそちらに属する。科学哲学的な意義は、そのまま残る。結果としての寄与がゼロの再発見でも、その模型をさらに押し進めると、まだ答えのない問いに行き着くことがある。

証明されても、上がるのはこの一命題だけである。作用素は既知の模型の特殊例のままで、枠組みが新しい理論になるわけではない。

文献とは照合していない。Berg と Kitti（2014）が、純粋戦略の均衡の利得集合がフラクタルになりうることを示している。その方法で決着がつく可能性がある。三篇の作用素は、Friedkin–Johnsen モデルの特殊例である。

名前は中身を表すもので、人名ではない。窓は割引因子の 1/φ から 2/3 までの区間を指す。下端の 1/φ は、三人で裏切り役を回す道が均衡になる閾値と同じ数である（命題 1）。どちらも多項式 δ² + δ − 1 から出ている。それが偶然かどうかは分かっておらず、予想ではなく問いとして置いている。

この予想と、証明と、図は、Claude Code（Anthropic）を用いて書いた。主張の責任は著者にある。Claude は著者ではない。